暦の沿革
- 治暦（暦の制定）は黄帝・堯舜や三代の盛王の代から重んじられてきたが、その仔細は文献に伝わるのみで、時代が古いほど法は詳らかでない。要は随時観測して天に合わせることに尽きる。漢の劉歆が三統暦を作り積年日法を立てて以降、唐・宋を経て改元・改法した者は数十家に及んだが、これは天の運行が一定でないのに暦法は一定の法であるため、年月が経てば必ず差が生じ改めざるを得なかったからである。
- 元初は金の大明暦を用いていたが、庚辰の歳（1220年CE）に太宗が西征した際、5月望の月食が予報と合わず、2月・5月朔の微月が西南に見えるなど不具合が生じた。中書令耶律楚材は大明暦が天より後れていると見て、節気の分を減じ周天の秒を減じ交終の率を去り、月転の余りを治め両曜の先後を調整し五行の出没を正して大明暦の誤りを正した。さらに中元庚午の歳（元の軍が南伐し天下がほぼ定まった年）に基づき、上元庚子の歳の天正十一月壬戌朔子正冬至に日月合璧・五星聯珠が虚宿六度で会するとし太祖受命の符に応じさせ、また西域と中原の地理の違いから里差を創案して東西万里でも差が出ないようにした。これを「西征庚午元暦」と名づけ表を上ったが、実際には頒用されなかった。
- 至元4年（1267年）、西域のジャマール・ディーンが「万年暦」を撰進し世祖がやや頒行した。至元13年（1276年）に宋を平定すると、前中書左丞許衡・太子賛善王恂・都水少監郭守敬に詔して新暦の改訂を命じた。許衡らは、金が改暦したといっても宋の紀元暦に手を加えただけで実際には天を測験していないとし、南北の日官陳鼎臣・鄧元麟・毛鵬翼・劉巨淵・王素・岳鉉・高敬らと共に歴代の暦法を参考にしつつ改め、日月星辰の運行の変化を測候し同異を比較検討して中数を採り暦法とした。至元17年（1280年）冬至に暦が完成し「授時暦」と名づけられ、翌18年（1281年）に天下に頒行された。至元20年（1283年）、太子諭徳李謙に暦議を作らせ、新暦が天の運行に順って合致することの詳細と、前代の人為的な付会の誤りを考証させたもので、永く伝えるに足るとされた。古今を通じて推験の精密さはこれに勝るものはないという。
- 許衡・王恂・郭守敬らの撰した暦経および李謙の暦議は現存し考証できるので、本志に著録する。ただし万年暦はすでに伝わらず、庚午元暦は頒用はされなかったがその書自体は残っているので、末尾に附載し後世の参考に供する。
授時暦議上
験気（冬至・夏至の測定法）
- 天道の運行は環のように端がなく、暦を治める者は必ず陰陽消息の際に立法の始めを求める。陰陽消息の機は日晷の進退によって現れるので、これを候う方法は表を立てて景（かげ）を測り気至の始まりを究めるほかない。旧法では地平を均し水準・縄墨を設けて表を立て中晷を測ったが、表が短いと分秒の判別が難しく、表を長くすると景が虚しく淡くなり実景を得にくい。そこで前人は虚景の中から真実を求めようとし、望筒を設けたり小表を置いたり木で規を作ったりして表端の日光を圭面に通した。
- 新法では銅で高さ36尺の表を作り、端に二龍を挟んで一本の横梁を圭面まで下げ、合計40尺（八尺表の五倍）とした。圭表には尺寸を刻み、旧来の一寸を五分に細分してより精密に読み取れるようにした。さらに「景符」を創案し、銅葉（幅二寸、長さは倍の四寸）に針の先ほどの穴を開け、方閏を台とし機軸で開閉できるようにして北を高く南を低く傾け、虚景の中で日光がこの小さな穴を通ると横梁の像が微かに映る仕組みとした。旧法は表端で日体の上辺の景を測っていたが、新法は横梁を用いて実際の中景を得るため、毫末の差もない。
- 地中（洛陽付近の基準地）の八尺表の景は冬至で一丈三尺余、夏至で尺五寸だが、京師（大都）の長表では冬至の景は七丈九尺八寸余（八尺表換算で一丈五尺九寸六分）、夏至の景は一丈一尺七寸余（八尺表換算で二尺三寸四分）となる。景の長短の地域差はあっても、景が長ければ冬至、短ければ夏至という原理は共通である。ただし気至の正確な時刻を求めるのは難しく、冬至の日が正しく定まればその年の気節すべてが正しく定まる。
- 劉宋の祖沖之は冬至前後23、4日間の景を折衷して冬至と定め、日差を比較して時刻を推定した。宋の皇祐年間の周琮は立冬・立春の景から冬至までの差が大きいことを理由に推算した。紀元暦以後の諸暦もおおむね祖沖之の方法を踏襲している。新暦（授時暦）は積日累月にわたり実測した中晷を、遠い日から近い日まで前後の日率が揃ったものを比較検討し、偏った一二日の景だけで多数決的に定めることをせず、大明暦より19刻20分減じたうえで、累年の実測による中晷の日差分寸から二至の時刻を次のように定めた。
至元十四年丁丑歳（1277年）冬至の推算
- 十一月十四日己亥の景は七丈九尺四寸八分五釐五毫、二十一日丙午は七丈九尺五寸四分一釐、二十二日丁未は七丈九尺四寸五分五釐であった。己亥・丁未の景の差から晷差を求め、丙午・丁未の差を法として除すと35刻を得る。これを距日800刻から減じ折半して半日刻を加え換算すると、癸卯日辰初三刻を丁丑歳の冬至とする結果を得た（これは至前後4日の景による）。
- 同様に、至前後8、9日の景（十一月初九日甲午・二十六日辛亥・二十七日壬子・二十八日癸丑）からも同じく癸卯日辰初三刻を得た。至前後17日の景（十一月丙戌朔・二日丁亥・十二月初六日庚申）でも辰初三刻に一致し、至前後27日の景（十一月二十一日丙午・十二月十六日庚午・十七日辛未）でも同じく辰初三刻となった。さらに至前後160日の景（6月初五日癸亥・翌15年5月癸未朔・初二日甲申）を用いても合致した。
- これらの複数回の検証により、至元十四年丁丑歳の冬至は癸卯日辰初三刻と結論された。
至元十五年戊寅歳（1278年）夏至の推算
- 5月19日辛丑・28日庚戌・29日辛亥の景の差から9刻を得て、距日900刻から換算すると乙巳日亥正三刻を夏至とする結果を得た（至前後4日の景による）。14年12月15日己巳・15年11月2日辛巳・3日壬午の景（至前後156日）や、14年12月12日丙寅・13日丁卯・14日戊辰と15年11月4日癸未・5日甲申・6日乙酉の景（至前後158、9日）、14年12月初7日辛酉・初8日壬戌・初9日癸亥と15年11月初9日戊子・初10日己丑・11日庚寅の景（至前後163、4日）など、いずれの組み合わせで検算しても結果は一致した。
至元十五年戊寅歳冬至・十六年己夘歳夏至・冬至の推算
- 至元十五年戊寅歳の冬至は、十一月十九日戊戌および閏十一月初9・初10日等の景から同様の方法で戊申日未初三刻と算出され、至前後10日・16、7日・21日の各組の景で検算しても一致した。
- 至元十六年己夘歳（1279年）の夏至は、四月十九日乙未・二十日丙申・五月十九日乙丑等の景から辛亥日寅正二刻と算出され、至前後15日・42日・61、2日・62、3日・75、6日・90日・103、4日の各組の景での検算でも一致した。
- 十六年己夘歳の冬至は、十月二十四日戊戌・十一月二十五日己巳・二十六日庚午等の景から癸丑日戌初二刻と算出され、至前後15、6日・18、9日・20日・23日・24日・31、2日・38日・47、8日・50日の各組で検算しても一致した。
- これら累年の推測により、至元18年辛巳歳（1281年、授時暦の元年）前の冬至は己未日夜半後六刻、すなわち丑初一刻にあたると定めた。
歳余・歳差
- 周天の度数と周歳の日数はともに365日余りで四分の一の端数を持つが、天の分は常に余り歳の分は常に不足するため、両者の数はぴったり一致しない。この微差は前人には知られていなかったが、漢末の劉洪が冬至が後天していることに初めて気づき、歳余の分が強すぎるとして乾象暦を作り歳余分を2500から2462に減じた。晋の虞喜、宋の何承天・祖沖之は歳差の存在を唱え、歳余を損じ天周を益することで歳退の差（歳差）を求める方法を立てた。
- 新暦は劉宋大明壬寅（462年）以来、実測により冬至の時刻の確かな数値が得られた6つの事例の距日時刻を年数で割り、当時使われていた歳余を求めた。さらに大明壬寅から至元戊寅（1278年）までの積日時刻を年数で割ると毎歳365日24分25秒を得、大明暦より11秒減じたものを現行の歳余とし、75秒を加え四分の一に相当する分を合わせて365度25分75秒を天周と定めた。歳余と天周の差1分50秒を全度から除すと66年余で1度差が出ることになり、これを歳差（66年で1度）とした。
- 堯典の中星や史書の記録で検証すると、堯の時代の冬至日は女虚の交にあり、漢の元和2年（85年）には斗21度、晋の太元9年（384年）には斗17度、宋の元嘉10年（433年）には斗14度、梁の大同10年（544年）には斗12度、隋の開皇18年（598年）にもなお斗12度、唐の開元12年（724年）には斗9度半、そして今（元代）は箕10度まで退いている。これらの年数と度数の対応から、多いもので70余年、少なくとも50年で1度差が生じることが確認できる。宋の慶元年間に改訂された統天暦は太衍暦の歳差率82年と開元の距差55年の中間を取り67年で1度とし、これが今日に照らして最も精密とされた。ただし古今の暦法は今に合わせれば古に合わず、古に密であれば今に合わないため、授時暦は古を考えるときは歳余を増し歳差を減じ、将来を推すときは歳差を増し歳余を減じることで、春秋以来の冬至を遡ってもおおむね合致し、将来にも永く弊がないようにした。ただし今日にのみ密であることに留意する必要があるとした。
古今暦の比較検証
- 大衍・宣明・紀元・統天・大明・授時の六暦を用いて、春秋の獻公15年戊寅歳正月甲寅朔旦冬至から宋の淳祐10年庚戌歳十一月辛巳日南至まで、また三国以降の日食・月食記録に至るまで、あわせて49事例の冬至時刻を比較検証した。その結果、大衍暦は合致32・不合致17、宣明暦は合致26・不合致23、紀元暦は合致35・不合致14、統天暦は合致38・不合致11、大明暦は合致34・不合致15、授時暦は合致39・不合致10であった。
- 個別に見ると、獻公15年戊寅歳正月甲寅朔旦冬至は授時暦のみが甲寅を得て、統天暦は乙夘（一日後天）となった。僖公5年丙寅歳正月辛亥朔旦冬至は授時・統天ともに辛亥で天と合致した。昭公20年己夘歳正月己丑朔旦冬至は授時・統天ともに戊子で一日先んじたが、これは春秋の記事自体に日度の失行があるためと考えられる（史官の誤記ではなく実際の天象のずれ）。同様の理由で、劉宋元嘉13年丙子歳の日南至、大明5年辛丑歳の冬至、陳の太建4年・9年の日長、隋の開皇11年・14年の冬至、唐の貞観18年・23年の日長、宋の景徳4年・嘉泰3年の日南至など、計10事例は日度の失行または史官の依拠記録の誤りと判断された。
- これら10事例を除外して再計算すると、授時暦の39事例はすべて的中し、統天暦も獻公の1事例を除きすべて的中する。ただし大衍暦は獻公の冬至を後天2日、大明暦は後天3日とするのに対し、授時暦は天と合致する。至元庚辰（1280年）の冬至についても、大衍暦は後天81刻、大明暦は後天19刻、統天暦は先天1刻とするのに対し、授時暦のみ天と合致した。以上より、授時暦が前代諸暦の中で最も精密であり、千年先の冬至も座して知ることができるとされた。
古今暦の疎密比較（歴代暦との個別対照）
- 授時暦と古暦とを比較すると疎密が自ずと明らかになる。上は数百年前に合致すれば下は永く行うことができるというのが前人の定説であり、宋の何承天・隋の劉焯・唐の傅仁均・僧一行らが最も優れた治暦者とされるが、彼らの暦を至元庚辰の冬至気応と比較すると必ず食い違いが生じる一方、新暦（授時暦）で遡って推算するとすべて符合する。以下、代表的な検証例を示す。
- 宋の文帝元嘉19年壬午歳（442年）11月乙巳日十一刻冬至（元嘉暦による）は、至元17年庚辰歳（838年後）まで元嘉暦で推すと辛酉（授時暦より2日後天）となるが、授時暦で元嘉壬午歳の冬至を遡ると乙巳を得て元嘉暦と合致する。
- 隋の大業3年丁夘歳（607年）11月庚午日五十二刻冬至（皇極暦による、673年後）は皇極暦推算で庚申（授時暦より1日後天）となるが、授時暦で遡ると庚午を得て皇極暦と合致する。
- 唐の武徳元年戊寅歳（618年）11月戊辰日六十四刻冬至（戊寅暦による、662年後）も同様に、授時暦で遡ると戊辰暦と合致する。
- 唐の開元15年丁夘歳（727年）11月己亥日七十二刻冬至（大衍暦による、553年後）は、授時暦で遡ると己亥を得て大衍暦と合致（先んじること4刻）。
- 唐の長慶元年辛丑歳（821年、459年後、宣明暦）、宋の太平興国5年庚辰歳（980年、300年後、乾元暦）、咸平3年庚子歳（1000年、280年後、儀天暦）、崇寧4年乙酉歳（1105年、175年後、紀元暦）、金の大定19年己亥歳（1179年、101年後、大明暦、先んじること9刻）、慶元4年戊午歳（1198年、82年後、統天暦）についても、いずれも授時暦による遡及推算がそれぞれの当時の暦と合致することが確認された。
周天列宿度・日躔・日行盈縮・月行遅疾・白道交周・昼夜刻
- 二十八宿は天に配された星座の区分で、日躔（太陽の運行位置）と対照することでその度数を定める。天体は南北両極を中心に赤道を巡り、日月五星はここを出入りするが、実際の観測では歴代によって宿次の距離に差があり、微かな動きの変化のためか前人の測定に精度の不足があった可能性がある。旧来は闚管（のぞき管）を用いたが、新制の渾儀では二線を用いて測るため、算出される度数分秒は前代と異なる。新たに測定した赤道宿度は、東方七宿79度20分、北方七宿93度80分太、西方七宿83度85分、南方七宿108度40分、合計で周天を成す。
- 日躔（太陽の黄道上の位置）については、姜岌が月食の対衝から日躔の位置を検証する方法を創始し、紀元暦は太白（金星）の位置から検証した。授時暦では至元丁丑（1277年）4月癸酉望の月食（既）から冬至の日躔を赤道箕宿10度・黄道9度余と算出し、その年正月から己夘歳（1279年）末までの3年間、太陰の宿次や歳星・太白との相距を実測し134事例を検証したところ、いずれも箕宿にあり月食の対衝と一致した。金の趙知微が修めた大明暦では冬至は斗初度36分64秒とされていたが、新測との差は76分64秒であった。
- 日行盈縮（太陽の運行速度の遅速）については、日月の運行に冬夏の差があり一年を通じて速度が一定でないことが知られる。北斉の張子信が日食・月食の観測から日行に入気差があることに初めて気づいたが精度は不十分で、趙道厳が晷影の長短から日行の進退を定め盈縮を作って虧食（食の予測）に用いた。劉焯は躔度と四季の昇降を結びつけたが損益は一様でなく、後代もこれを踏襲した。実際には冬至の日行は一度強で赤道の外24度弱、そこから88日91分（春分前3日）で赤道上を実行91度31分となり平行に達し、以後93日71分（夏至）で赤道の内24度弱に入り、さらに93日71分（秋分後3日）で赤道上に戻り、88日91分（冬至）で赤道外24度弱に戻るという循環を成す。盈縮の極差はいずれも2度40分で、実測の晷影と算術推考により一致することが確認された。
- 月行遅疾（月の運行速度の遅速）については、古暦では月は一日13度19分の平行とされたが、漢の耿寿昌は月が牽牛・東井・婁・角を通過する際に日を過ぎたり不足したりすることに気づき、賈逵は合朔・弦望・月食の加時が合わない原因は月行の遅疾にあるとし、李梵・蘇統は月の遅疾が特定の宿次に限らないとした。劉洪は乾象暦で20余年の精思の末にこの理を悟り差率を立て、唐の一行は九道の複雑な運動から月行の疾徐の理を得た。先儒は月と五星が近日で疾く遠日で遅いとする。暦家は入転一周の日を遅疾二暦に分け初末二限を立て、疾初・遅末は平行を超え、遅初・疾末は平行に及ばないとする。入転一周は実質27日55刻46分、遅疾の極差はいずれも5度42分である。
- 白道交周（月の軌道と黄道の交点の周期）については、赤道は南北両極の中心を横絡し宿度を紀す基準であり、黄道は赤道を出入りする太陽の軌道である。白道（月の軌道）は黄道と交わりながら朔には太陽を月が掩い（日食）、望には月が太陽の対衝となり（月食）その食分の深浅は交点との距離により数理的に推算できる。月道が黄道を出入りする幅は6度を超えず、赤道からの距離は遠くて30度、近くて18度である。正交・半交・中交・半交と巡る一交の周期は27日21刻22分24秒で、毎交ごとに天を200分度の93だけ後退し、249交で天を一周する計算となる。
- 昼夜刻（昼夜の時間配分）は、日の出を昼、日没を夜とし、一昼夜を100刻とし十二辰に分けると各辰8刻3分の1となる。春秋二分では昼夜がほぼ等しく各50刻、夏至に向けて昼が長くなり冬至に向けて夜が長くなる。地中を基準にすると昼の長さは最大60刻、最短40刻となるが、地の南北で日の出入りの位置が異なるため実際の長短は場所によって変わる。京師（大都）では冬至の日の出は辰初二刻、日没は申正二刻で昼38刻・夜62刻、夏至の日の出は寅正二刻、日没は戌初二刻で昼62刻・夜38刻となる。授時暦の昼夜刻は京師を基準としており、各地の北極高度の実測値は「天文志」に詳しい。